Boole Cebrinin Daha Sonraki Gelişimi

Boole sisteminin esas yeniliği onun seçmeli fonksiyonlar kuramı ile bunların gelişimidir. Boole’un kitabı Mathematical Analysis of Logic’den (Mantığın Matematiksel Analizi) Boole’cu gelişmelerin açık bir gösterimi için Frege’nin 1879 tarihli Begriffsschrift’indeki (Kavram Yazısı) doğruluk-tabloları kullanımına ufak bir adım kalmıştı. Bir makalesinde Amerikalı mantıkçı C. S. Peirce zorunlu olarak doğru bir formülün bileşenlerine tüm doğruluk-değerleri verildiğinde doğru kalan formül olduğu görüşünü eklemiştir.

1881 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantık) eserinde Boole’un hayranı olan J. Venn sınıflar arasındaki bağıntıları göstermek için çakışan alanlara sahip şemalar kullanmıştır. Onun şemaları Euler şemalarından farklıdır, o önce tüm olası kombinasyonları farklı alanlarla göstermiş, sonra verilen bir önermeyi göstermek için hangi kombinasyonların boş, hangilerinin boş olmaması gerektiğini değişik alanları işaretleyerek belirtmiştir.

Boole yöntemleri parmak hesabına indirgenebildiğinden dolayı makineleştirmeye uygundur. Bunu ilk fark eden Jevons olmuş, 1869’da bir mantık makinesi yapmayı başarmış ve bunu bir sonraki yıl Kraliyet Topluluğu’na sunmuştur. Boole cebri 1936’da elektrik iletişimi mühendisliğinde anahtar ve röle devreleri çalışması için kullanılmıştır. Anahtar ve rölelerden oluşan bir devre doğru Boole ifadesiyle tanımlandığında, belli yolların belirli durumlarda açık olup olmayacağını cebirsel olarak belirlemek mümkündür.

Ancak en önemli gelişme bu hesabın katı aksiyomlaştırılmış formda sunumudur. E. V. Huntington ‘Mantık Cebri için Bağımsız Postulatlar Kümeleri’ üzerine iki makale yazmıştır. Huntington bu makalelerinde mantık cebrinden söz ettiği halde, postulatlarını soyut bir şekilde, yani hiçbir özel yoruma işaret etmeden sunmuştur. Huntington’un ilk kümesi toplama ile çarpma işlemlerini temel işlemler olarak alması bakımından Boole sistemine en yakın olandır.

Daha yakın zamanda A. Tarski genişletilmiş bir Boole cebri sistemi için birkaç eşdeğer postulat kümesi vermiştir. Bu kümelerde sınırsız sayıda postulat bulundurma özelliğine sahip iki işlem vardır; bunlar belirli bir elemanlar kümesinin tüm elemanlarının mantıksal toplamını veya birleşimini alma ve belirli bir elemanlar kümesinin tüm elemanlarının mantıksal çarpımını veya kesişimini almadır.

Boole Cebrinin Daha Sonraki Gelişmeleri

Boole sisteminin esas yeniliği onun seçmeli fonksiyonlar kuramı ile bunların gelişimidir; yani günümüzdeki değişle, onun doğruluk-fonksiyonları kuramı ile bunların tikel-evetlemeli yasal biçimde ifade edilmesidir. Megaralı Philo belirli seçmeli fonksiyonları tartışmış ve bunların nasıl geliştirilebileceğini açıklamıştır; ancak bu konuları genel olarak ilk ele alan Boole olmuştur. Boole’un kitabı Mathematical Analysis of Logic’den (Mantığın Matematiksel Analizi) Boole’cu gelişmelerin açık bir gösterimi için Frege’nin 1879 tarihli Begriffsschrift’indeki (Kavram Yazısı) doğruluk-tabloları kullanımına ufak bir adım kalmıştı. 1885 tarihli bir makalesinde Amerikalı mantıkçı C. S. Peirce zorunlu olarak doğru bir formülün bileşenlerine tüm doğruluk-değerleri verildiğinde doğru kalan formül olduğunu belirtmiştir: “Bir formülün zorunlu olarak doğru olup olmadığını bulmak için harfler yerine f ve v koyun ve bu türden değerlerin konulması sonucu yanlış varsayılabilip varsayılamayacağını görün.” Bu iki kavramla birlikte de 1920’de Post ve Wittgenstein tarafından popüler hale getirilen temel mantıktaki tablolama yöntemi için tüm gerekenlere sahip olmuş oluruz.

John Venn

1881 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantık) eserinde Boole’un diğer bir hayranı olan J. Venn sınıflar arasındaki bağıntıları ya da önermelerin doğruluk-koşullarını göstermek için çakışan alanlara sahip şemalar (yani, topolojik modeller) kullanmıştır. Onun şemaları Euler şemalarından farklıdır, o önce tüm olası kombinasyonları farklı alanlarla göstermiş, sonra verilen bir önermeyi göstermek için hangi kombinasyonların boş, hangilerinin boş olmaması gerektiğini değişik alanları işaretleyerek belirtmiştir. Jevons gibi, o da açıklamaya çalıştığı şeyin Boole’un temel buluşlarından biri olduğunu düşünmüş ve şemalarını Boole’un çeşitli hesap işlemlerini doğruladığı gelişim kuramının gösterimleri olarak görmüştür. Böylece ‘her insan bir hayvandır’, ‘her hayvan ölümlüdür’, bundan dolayı ‘her insan ölümlüdür’ örneği, insan terimi ‘h’ ile, hayvan terimi ‘a’ ile, ölümlü terimi de ‘m’ ile gösterildiğinde aşağıdaki şekille gösterilebilir:

Bu şemada kare konuşma evrenini, üç daire alanı da insanlar, hayvanlar ve ölümlülerden meydana gelen üç sınıfı gösterir. Bir alanın taranması bir öncülde belirtildiği gibi karşılık gelen sınıfın, örneğin hayvan olmayan insanlar sınıfının boş olduğunu belirtir; bir alana yıldız koymak ise karşılık gelen sınıfın boş olmadığını belirtir. 1896 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantık) eserinde Lewis Caroll kıyasların geçerliliğini belirlemek için ileri sürdüğü bir yöntemde benzer bir şema kullanmıştır.

William Stanley Jevons

Boole yöntemleri parmak hesabına indirgenebildiğinden dolayı makineleştirmeye uygundur. Bunu ilk fark eden Jevons olmuş, 1869’da bir mantık makinesi yapmayı başarmış ve bunu bir sonraki yıl Kraliyet Topluluğu’na (Royal Society) sunmuştur. Bir betimlemesinde bu aletin görüntüsünün diklemesine duran çok küçük bir piyanoya benzediğini söylemiştir, ancak modern gözler için daha ziyade bir yazarkasaya benzer, çünkü elemanların (sınıfların ya da önermelerin) değişik olası kombinasyonlarını belirten imler tuşlara basarak ortaya çıkar veya yok olur. 1885’de Allan Marquand, Jevons’un makinesinin elektrikle işleyen bir benzerini önermiştir ve 1947’de özellikle on iki mantıksal değişkene (yani, önerme ya da sınıf harflerine) kadar Boole problemlerini çözmek için farklı bir tasarıma sahip elektrikli bir bilgisayar T. A. Kalin ve W. Burkhart tarafından Harvard’da yapılmıştır.

Genel amaçlar için tasarlanmış herhangi modern bir elektronik bilgisayar Boole cebriyle iş görebilmelidir. Çünkü eğer bu basit matematiksel hesabın mantıksal ifadelendirmesini takip edecekse, tümel-evetlemeyi, tikel-evetlemeyi, değillemeyi ve koşullu bağımlılığı hesaba katmalıdır. Örneğin, komutları şöyle olabilir: eğer belli bir işlemin yapılmasında A ve B koşullarının her ikisi de sağlanırsa, bu işlem C’yi yapmalı ve o zaman eğer C’nin sonucu D veya E ise, işlem F’yi yapmalı, yoksa G’yi yapmalı gibi. Tüm bunlar seri ve paralel dizilişlerin çeşitli kombinasyonları içinde elektrik impalsları gönderen anahtarlar olarak termiyonik tüpler veya transistörler kullanılarak yapılır. Boole cebri 1936 gibi erken bir tarihte elektrik iletişimi mühendisliğinde anahtar ve röle devreleri çalışması için kullanıldığından uygun devrelerin üretilebilmesi çok şaşırtıcı değildir. Eğer iki durumdan birinde olması gereken elektrik devresinin açılması bir önermenin doğrulanmasına benzetilirse, devrenin kapanması da aynı önermenin reddedilmesine benzetilebilir; iki devrenin paralel bağlanması iki önermenin ‘veya’ ile bağlanmasına benzetilebilirken, iki devrenin seri bağlanması iki önermenin tümel-evetlemesine benzetilebilir. Anahtar ve rölelerden oluşan karmaşık bir devre bu benzetmelere uygun bir şekilde doğru Boole ifadesiyle tanımlandığında, belli yolların belirli durumlarda açık olup olmayacağını cebirsel olarak belirlemek mümkündür ve bu ifadenin cebirsel transformasyonları ile daha az aletle aynı sonuçları verecek bir devre bulmak dahi mümkün olabilir.

Boole sistemi bazı bakımlardan kolay işlemeye elverişli olduğu halde, bazı estetik kusurları barındırır; örneğin x ve y’nin ayrık sınıflar (yani, xy = 0 denkleminin doğru) olduğunu bilmeden x + y yazamayacağımız sınırlamasında olduğu gibi. Boole sistemi ayrıca varlıksal önermelerin ifadesi için v harfinin kullanımı, 1 ve 0 harici katsayıların kabulü ve mantıkta sabit bir anlam atfedilmeyen bölme işleminin kullanımı gibi bazı kesinlik kusurları da barındırır. The Laws of Thought (Düşünce Yasaları) eserinin yayınlanmasından sonraki yarım yüzyıl içinde bu eksikler takipçilerince giderilmiştir. Jevons bu reformu yazdığı Pure Logic, or the Logic of Quality apart from Quantity (Saf Mantık veya Nicelikten Ayrı Olarak Nitelik Mantığı) eseriyle 1864 yılında başlatmıştır ve burada ‘+’ sembolünün aralarında bulunduğu imlerde hiçbir sınırlama olmayan kapsamlı ‘veya’ olarak kullanımını önermiştir. Bu büyük bir sadeleştirmeyi mümkün kılmış ve bundan dolayı Venn haricindeki daha sonraki tüm mantık cebri yazarlarınca kabul görmüştür. C. S. Peirce’ün 1867 tarihli bir yazısında işaret ettiği gibi bu, mantıksal toplama içeren teoremler ile mantıksal çarpma içeren teoremler arasında tam bir paralellik ortaya çıkarmıştır. Bu avantaj en eksiksiz şekliyle E. Schröder tarafından Vorlesungen über die Algebra der Logik (Mantık Cebri Üzerine Dersler) (1890-5) eserinde bu türden teoremler hazırladığında gösterilmiştir. Yaklaşık 1880 tarihli bir yazısında Peirce sadeleştirme yönünde daha da ileri gitmiş ve Boole’un tüm seçmeli fonksiyonlarının ‘ne … ne…’ anlamında tek bir basit im kullanılarak nasıl ifade edilebilir olduğunu göstermiştir. Ancak Peirce’ün diğer birçok buluşu gibi, bu da o zaman fark edilmemiştir: bu imkan H. M. Sheffer tarafından 1913’de tekrar keşfedilene kadar bu türden bir indirgeme imkanından hiçbir fayda sağlanmamıştır. Peirce, Leibniz’in ‘inest’i anlamındaki bir imi de yeniden ortaya çıkarmıştır; imi olmasa da fikri Schröder tarafından benimsenmiştir.

Edward Vermilye Huntington

Ancak en önemli gelişme bu hesabın katı aksiyomlaştırılmış formda sunumudur. Boole sistemini olağan sayısal cebirden farklı tek bir ilkeyle betimlemekten hoşnut olmuşken onu izleyenler tüm varsayımlarını açık hale getirmeye çalışmışlardır. Bu çabanın sonuçları E. V. Huntington’un ‘Mantık Cebri için Bağımsız Postulatlar Kümeleri’ üzerine yazdığı iki makalesinde en iyi şekilde incelenebilir. Huntington mantık cebrinden söz ettiği halde, postulatlarını soyut bir şekilde, yani hiçbir özel yoruma işaret etmeden sunmuştur ve Boole cebrinin bu geliştirilmiş şekli mantıktaki kullanımından ayrı olarak modern matematikçiler için aslında hayli ilgi çekicidir. Karşılaştırma kolaylığı bakımından Huntington kümelerinin birinci, ikinci ve dördüncüsü aşağıda Boole sembolizmi içinde, bu sembolizmin uygun olduğu kadar, verilmiştir. 1 ve 0 da dahil çeşitli imler sadece postulatlar tarafından onlara verilen anlamlara sahiptir.

Huntington’un ilk kümesi A. N. Whitehead tarafından onun 1898 tarihli Universal Algebra (Evrensel Cebir) eserinde verilen kümeden uyarlanmıştır ve toplama ile çarpma işlemlerini temel işlemler olarak alması bakımından Boole sistemine en yakın olandır. Bunlar kısaca cebrin elemanları denilen bir nesneler sınıfından herhangi bir çifte uygulanabilmelidirler. Bu postulatlara mantıksal bir yorum vermek istediğimizde bu elemanları sınıflar ya da önermeler olarak alırız.

Huntington’un ikinci kümesi elemanlar üzerine herhangi bir işlemden ayrı olarak elemanlar arasında bir içinde bulunma bağıntısıyla ilgilendiğinden Leibniz, Peirce ve Schröder’in önerilerine benzer. Bu bağıntı için kullanmamız gereken im sayısal matematikte ‘küçüktür’ anlamında kullanılır, ancak burada a b formülü a = b formülünü dışlamayan bir anlamda anlaşılmalıdır. Eğer alışıldığı üzere bu cebrin elemanları sınıflar olmak zorundaysa, bu im bir alt-sınıfın bir üst-sınıfın içinde bulunması anlamında, ancak üyelik anlamında olmayan içinde bulunma anlamında alınabilir.

Postulatların ifadesinde kullanılan s ve p harfleri sırasıyla ‘toplam (sum)’ ve ‘çarpım (product)’ı kastetmek için önerilmiştir.

Huntington’un dördüncü kümesi tüm sistemin toplama ve tek tanımlanmamış kavramlar olarak tümleyeni alma işlemlerince nasıl formüle edilebildiğini göstermek üzere yapılandırılmıştır. Çarpma işlemi ve içinde bulunma bağıntısı gibi diğer kavramlar gerekirse tanım ile ileri sürülebilir.

Bu küme ve buna karşılık gelen çarpma ve tamlayan alma işlemleri kümesi muhtemelen bu türden oluşturulabilecek en basit kümelerdir.

Ancak, yukarıda söz edilen Peirce ve Sheffer’in aracıyla tek basit işlem içeren daha basit bir postulatlar kümesi yaratmak mümkündür.

• En azından iki farklı eleman vardır.
• Tüm a ve b elemanları için a | b bir elemandır.
• Her a elemanı için (a | a) | (a | a) = a ve sözkonusu kombinasyonlar da elemanlardır.
• Tüm a ve b elemanları için a | {b | (b | b)} = a | a ve sözkonusu kombinasyonlar da elemanlardır.
• Tüm a, b ve c elemanları için {a | (b | c)} | {a | (b | c)} = {(b | b) | a} | {(c | c) | a} ve sözkonusu kombinasyonlar da elemanlardır.

Bu küme Sheffer’in yukarıda bahsi geçen makalesinde bulunacaktır ve a | b ifadesi genellikle Sheffer’in çizgi fonksiyonu olarak adlandırılır. Kuşkusuz son üç postulat

Daha yakın zamanda A. Tarski genişletilmiş bir Boole cebri sistemi için birkaç eşdeğer postulat kümesi vermiştir. Bu kümelerde sınırsız sayıda postulat bulundurma özelliğine sahip iki işlem vardır; bunlar belirli bir elemanlar kümesinin tüm elemanlarının mantıksal toplamını veya birleşimini alma ve belirli bir elemanlar kümesinin tüm elemanlarının mantıksal çarpımını veya kesişimini almadır. Bu genişletilmiş sistem S. Lesniewski tarafından ‘mereoloji’ adıyla geliştirilen bir parça-bütün kuramıyla yakından ilişkilidir. Aslında fark sadece Lesniewski sisteminin her bir elemanın içinde boş eleman bulunması olasılığını dışlamasıdır.

Tüm bu aksiyom kümelerinin ortak özelliği bunların ‘ise’ gibi sıradan sözcüklerin kullanımını içermeleri ve bundan dolayı bir önermeden veya bir önermeler kümesinden diğerine çıkarım kuralları barındıran bir mantık sistemini varsaymalarıdır. Bu olgu Boole cebrinin bir mantık sistemi olarak yorumlanabilmesini reddetmez, ancak bu Boole cebrinin mantığın en basit ve en temel bölümü olamadığını gösterir. Bu cebrin elemanları sınıflar olması gerekiyorsa, önermelerden başka önermeler çıkarma ile ilgili daha temel bir kuram olması gerekir. Ancak bu daha temel kuram elemanların önermeler olduğu başka şekilde yorumlanmış Boole cebri olamaz, çünkü bu cebrin diğer versiyonu tam olarak sınıflar cebrindeki aynı varsayımları içerir. Frege’nin 1879 tarihli Begriffsschrift’i mantık biliminin tam kapsamlı bir şekilde geliştirildiği ilk mantık incelemesidir. Ancak daha 1877’de H. McColl ifade edilen ilkelerin denklemler yerine içermeler olduğu bir önermeler mantığı önermiştir; ortaya çıkardığı sistem Frege’nin önermeler hesabı gibi eksiksiz olmasa da, bu bakımdan öncelik hakkının ona verilmesi gerekir.