Binlerden milyonlara, milyarlara, trilyonlara, katrilyonlara ve ötesine: Sayıların bir sonu var mıdır?

Bir arkadaşınızdan size herhangi bir sayı söylemesini isteyin ve siz de ona size söylediğinden daha büyük bir sayı söyleyin. Sonuçta ne olacak? Kazanan her zaman siz olacaksınız; çünkü arkadaşınızın söylediği sayıyı alt etmenin çok basit bir yolu vardır: O sayıya 1 sayısını eklemek!

Kazanan siz oldunuz; çünkü sayılar sonsuza kadar devam eder. “En büyük sayı” diye bir şey yoktur. Ama neden?

Öncelikle, sayı nedir ve nereden gelmiştir bunu anlamanız gerekir. Bugün sayıları öğrenmenizin nedeni sayıların hesap yapabilmemize olanak sağlamasıdır. İlk insanların da benzer ihtiyaçları vardı: bir avda öldürülen hayvanları saymak, kaç gün geçtiğini takip etmek gibi. Zaten bu nedenle de sayıları icat ettiler.

Ancak o zamanlar sayılar oldukça sınırlıydı ve çok basit bir biçime sahipti. Sayılar genellikle bir kemiğin üzerine atılmış çentiklerden ibaretti ve en fazla birkaç yüze kadar çıkıyordu.

Zaman geçtikçe insanların ihtiyaçları da arttı. Hayvan sürülerindeki hayvanların sayılması, mal ve hizmetlerin ticaretinin yapılması, inşaat ve denizcilik faaliyetleri için ölçümler yapılması gerekti. Bu da daha büyük sayıların ve onları göstermek için daha kolay yöntemlerin icat edilmesine yol açtı.

Yaklaşık 5.000 yıl önce Mısırlılar farklı sayılar için farklı semboller kullanmaya başladılar ve bunların sonuncusu 1.000.000 içindi. Mısırlılar genellikle bundan daha büyük değerlerle karşılaşmadıkları için, aynı sembolü “çok” için de kullandılar.

Yunanlılar, Pisagor’dan başlayarak, sayıları sadece sayma araçları olarak görmek yerine, kendi amaçları için kullanan ilk insanlar oldular. Bu adımın insanlık için ne kadar önemli olduğunu ne kadar vurgulasak eksik kalacaktır.

İlgili konu: Pisagorcu sayı kuramı

MÖ 500 yılına gelindiğinde Pisagor ve öğrencileri sadece sayma sayılarının sonsuz olduğunu değil, aynı zamanda gergin bir teli kopardığınızda çıkan sesler gibi olağanüstü şeyleri açıklamak için de kullanılabileceklerini fark etmişlerdi. Ama bir sorun vardı. Yunanlılar çok büyük sayıları aklen tasavvur edebilmelerine rağmen, bunları yazmakta zorluk çekiyorlardı. Bunun nedeni 0 (sıfır) sayısını bilmemeleriydi.

İlgili konu: Pisagorcular geri dönüyor: Matematik insanların icadı değil, yaşamın esasıdır!

Sıfırın büyük sayıları ifade etmede ne kadar önemli olduğunu göz önünde bulunduralım: 1‘le başlayıp sonuna sıfırlar ekleyerek 1.000.000 (bir milyon) ya da 9 sıfırlı 1.000.000.000 (bir milyar) ya da 12 sıfırlı 1.000.000.000.000 (bir trilyon) gibi sayıları kolayca elde edebilirsiniz.

Yüzyıllar önce Hindistan’da icat edilen sıfırın Avrupa’ya gelmesi ancak MS 1200’lerde gerçekleşmiştir. Bu da bugün sayıları yazma şeklimizi ortaya çıkarmıştır.

Bu kısa tarihçe, sayıların binlerce yıl içinde geliştirildiğini açıkça ortaya koymaktadır. Mısırlılar bir milyonu pek kullanmasa da bugün biz bunu elbette kullanıyoruz. Örneğin ekonomistler genellikle size devlet harcamalarının milyon dolarlarla ölçüldüğünü anlatacaklardır.

Ayrıca, bilim bizi daha da büyük sayılara ihtiyaç duyduğumuz bir noktaya getirdi. Örneğin, galaksimizde yaklaşık 100 milyar yıldız vardır ve evrenimizdeki atomların sayısı muhtemelen 1’in ardından 82 tane sıfır gelecek kadar fazladır.

Bu kadar büyük sayıları hayal etmekte zorlanıyorsanız üzülmeyin. Mısırlıların bir milyondan büyük sayıları ifade ettikleri gibi, siz de bu sayılara “çok” olarak bakabilirsiniz. Bu örnekler, sayıların neden sonsuza kadar devam etmesi gerektiğinin nedenine işaret eder. Eğer bir azami değerimiz olsaydı, yeni bir kullanım ya da keşif mutlaka onu aşmamızı sağlardı.

Ancak belirli koşullar altında, bazen sayıların bir üst sınırı vardır çünkü insanlar onları pratik bir amaç için bu şekilde oluştururlar.

Buna güzel bir örnek olarak sadece 1’den 12’ye kadar olan sayıları kullandığımız duvar saatlerini verebiliriz. Duvar saatinde “Saat 13” diye bir şey yoktur; çünkü saat 12‘den sonra tekrar saat 1‘e geri döneriz.

Sayılar insan icadı olduğuna göre, onları sonu gelmeden devam edecek şekilde nasıl yapılandırabiliriz? Matematikçiler 1900’lerin başından itibaren bu soruya yanıt aramaya başladılar. Buldukları şey iki varsayıma dayanıyordu:

0 (sıfır) başlangıç sayısıdır ve herhangi bir sayıya 1 eklediğinizde her zaman yeni bir sayı elde edersiniz.

Bu varsayımlar bize sayma sayılarının listesini verir: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3 ve bu sıralı liste bu şekilde sonsuza kadar devam eder.

Bu iki kuralın neden varsayım olduğunu merak edebilirsiniz. İlkinin nedeni, 0 (sıfır) sayısını nasıl tanımlayacağımızı gerçekten bilmememizdir:

“Sıfır”, “hiçbir şey” ile aynı şey midir ve eğer öyleyse “hiçbir şey” ile ifade edilen şey tam olarak nedir?

İkincisi daha da ilginç görünebilir. Sonuçta, 2‘ye 1 eklemenin bize yeni 3 sayısını verdiğini kolayca gösterebiliriz, tıpkı 2002‘ye 1 eklemenin bize yeni 2003 sayısını vermesi gibi. Ancak bunun herhangi bir sayı için geçerli olması gerektiğini söylüyoruz. Sonsuz sayıda durum söz konusu olacağından, bunu her bir durum için doğrulayamayız. Sadece sınırlı sayıda adımı gerçekleştirebilen insanlar olarak, sonsuz bir süreç hakkında iddialarda bulunduğumuzda ihtiyatlı olmak zorundayız. Özellikle matematikçiler, her şeyi kesin kabul etmeyi reddeden insanlardır.

O hâlde, sayıların neden bitmediğinin cevabı burada: Onları tanımlama şeklimiz.

Negatif sayılar -1, -2, -3 ve daha fazlası tüm bunlara nasıl uyuyor? Tarihsel olarak insanlar bu tür sayılara şüpheyle yaklaşmışlardır; çünkü “eksi bir” elma ya da portakalı hayal etmek zordur. 1796 gibi geç bir tarihte, matematik ders kitapları negatif sayıların kullanılmasına karşı çıkıyordu.

Negatifler bir hesaplama sorununu çözmek için yaratılmıştı. Pozitif sayıları birbirine eklerken sorun yoktur. Ancak çıkarma işlemine geldiğinizde, 1 eksi 2 veya 2 eksi 4 gibi sayıları işleyemeyiz. Eğer sayıları çıkarabilmek istiyorsanız negatif sayılara da ihtiyacınız vardır.

Negatif sayıları oluşturmanın kolay bir yolu, tüm sayıların düz bir çizgi üzerinde eşit aralıklarla yazıldığını hayal etmektir. Şimdi 0‘a yerleştirilmiş bir ayna hayal edin. Ardından -1‘i +1‘in çizgi üzerindeki yansıması olarak, -2‘yi +2‘nin yansıması olarak tanımlayın ve bu şekilde devam edin. Böylece tüm negatif sayıları elde edeceksiniz.

Ayrıca, pozitif sayılar ne kadarsa o kadar da negatif sayı olduğu için, negatif sayıların da sonsuza kadar gitmesi gerektiğini göreceksiniz!

Bu makale Sosyolog Ömer Yıldırım tarafından www.felsefe.gen.tr için, Manil Suri’nin “From thousands to millions to billions to trillions to quadrillions and beyond: Do numbers ever end?” isimli makalesinden Türkçeye çevrilip derlenerek hazırlanmıştır. Alıntılanması durumunda kaynak gösterilmesi, ahlaklıca olanıdır.

Çeviri ve Derleme: Sosyolog Ömer YILDIRIM