Niceleyiciler ve Açık Önermeler

Her önermenin öznesi “Ömer, Doğa, Nil” gibi her zaman açıkça belirli olmaz. Bir önerme, belirsiz bir kişiyi ya da nesneyi özne olarak alabilir. Bu tür önermelerde belirsiz olan özneyi göstermek için x, y, z gibi semboller kullanılır.
Bu sembollere değişken adı verilir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. Örneğin, “z öğretmendir.”, “y + 4 = 9” gibi önermeler birer açık önermedir.

Açık önermeyi önerme haline getirmek için, içinde bulunan x, y, z gibi değişkenlerin yerine belirli bir terim konur. Böylece önerme bir doğruluk değerine sahip olur. Örneğin; “x öğretmendir.” önermesinin bir doğruluk değeri yoktur. Ancak x yerine “Ali” terimini koyduğumuzda “Ali öğretmendir.” önermesi bir doğruluk değerine sahip olacaktır.

Bir açık önermeyi, önerme hâline getirmek için kullandığımız tüm terimler kümesine evren denir ve E: { } biçiminde gösterilir. Verilen evrendeki değerleri değişkenin yerine koyma işlemine özelleme, bu şekilde elde edilen önermelere de özelleme önermesi adı verilir.

Evrenden seçtiğimiz değerlerin bir kısmı önermeyi doğru kılarken, bir kısmı yanlış kılabilir. Evrene ait bir değerin özelleme önermesini doğru kılmasına gerçekleme adı verilir.

Önermelerin niceliğini gösteren “bütün”, “bazı”, “tüm”, “kimi” gibi terimlere niceleyici adı verilir. Niceleme mantığında tümel ve tikel niceleyici olmak üzere iki tür niceleyici vardır.

Buraya kadar görmüş olduğumuz kuralları uygulayarak içinde tümel ve tikel niceleyici geçen önermeleri de sembolleştirebiliriz.

Örneğin, “x fotosentez yapar.” açık önermesini ele alalım. E: {bitkiler} olarak alınırsa, evrendeki değerlerin tümü “x fotosentez yapar.” önermesini gerçekler (doğrular). Bu durum, klasik mantıkta “Tüm bitkiler fotosentez yapar.” biçiminde, niceleme mantığında “Tüm x’ler için x fotosentez yapar.” biçiminde ifade edilir. Burada “Tüm x’ler” yerine ““x”, “x fotosentez yapar.” yerine de “Fx” sembollerini koyduğumuzda, ““xFx” tümel önermesini elde ederiz.

Şimdi, yukarıdaki önerme için verdiğimiz evreni değiştirelim. Bu kez evren, E: {canlılar} olsun. Bu durumda, evrende verilen değerlerin bir kısmı “x fotosentez yapar.” açık önermesini gerçeklerken (doğrular), bazı değerler bu
önermeyi gerçeklemez (yanlışlar). Bu durumu klasik mantıkta “Bazı canlılar fotosentez yapar.” biçiminde ifade ederken, niceleme mantığında “Bazı x’ler için, x fotosentez yapar.” biçiminde ifade ederiz. “Bazı x’ler” yerine “$x”, “x fotosentez yapar.” yerine de “Fx” koyarsak, “$xFx” tikel önermesini elde ederiz.

Aynı kuralları çıkarıma uygulayarak çıkarımları da sembolleştirebiliriz.

“Her insan değerlidir.
Duygu insandır.
O hâlde, Duygu değerlidir.”

çıkarımını sembolleştirelim. Bu çıkarımda, “değerlidir”, “insandır” ve “Duygu” olmak üzere üç tane değişmez vardır.

“insandır” : F (yüklem değişmezi)
“değerlidir” : G (yüklem değişmezi)
“Duygu” : a (ad değişmezi)

biçiminde sembolleştirilirse çıkarım; “Her F, G’dir.”, “a F’dir.” .^.. “a G’dir.” biçiminde ifade edilir. “Her F, G’dir.” önermesini niceleme mantığında “Her x için x F ise, x G’dir.” biçiminde dile getiririz. “Her x için” yerine ““x” konursa, “Her insan değerlidir.” önermesi “x (Fx => Gx) biçiminde sembolleştirilir.

“Duygu insandır.” önermesi Fa ile “Duygu değerlidir.” önermesi Ga ile sembolleştirilirse, çıkarım “x (Fx => Gx), Fa .^.. Ga biçiminde sembolleştirilir. Niceleme mantığında, tümel niceleyici ile kurulmuş açık önermelerin özellemeleri yapılırken elde edilen önermeler birbirlerine tümel evetleme eklemi (Λ) ile bağlanırlar.

Hazırlayan: Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM’ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 3. Sınıf “Klasik Mantık” ve “Modern Mantık” Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM)