Boole Cebri Nedir?

x ve y gibi harflerin sınıfları simgelediklerini ve iki sınıf sembolü arasında ‘=’ sembolü kullanmanın söz konusu sınıfların aynı elemanlara sahip olduklarını gösterdiğini varsayalım.

O zaman iki sınıfın kesişimi, yani bu sınıfların her ikisine de ait tüm şeylerden oluşan sınıf xy gibi karmaşık bir sembol ile belirtilebilir. Bu uzlaşma dar tanımlı bir sınıfı belirtmeye çalıştığımızda sıfatları birlikte sıraladığımız yöntem tarafından ileri sürülür. Örneğin, büyük, kırmızı, kare şeyler sınıfından söz edebiliriz. Boole aslında sıfatlar ile sınıf sembolleri arasında çok keskin bir ayrım yapmamıştır; o zaman zaman x, y, z, vs. harflerini bazı şeyleri dikkat edilmesi için seçen semboller olarak düşünerek bunlara ‘seçici’ semboller adını vermiştir.

Ancak, tüm ayırt edilebilir sınıflar arasında iki sınırlandırıcı örnek vardır ki bunlar için özel semboller bulunması uygundur. Bunlar ‘evren’ sınıfı ya da her şeyin üye olduğu sınıf ve ‘boş’ sınıf ya da hiçbir şeyin üye olmadığı sınıftır. Boole sembolizminde bunlar sırasıyla 1 ve 0 sembolleri ile gösterilmiştir. 1x = x ile 0x = 0 denklemleri her zamanki sayısal yorumlamada oldukları kadar bu açıklanan sınıf yorumlamasında da geçerlidir. Boole evren sınıfı ve boş sınıf hakkında yazdığında, ‘sınıf’ sözcüğünün alışıldık kullanımına önemli bir genişletme yapmıştır.

Uygulamada Boole’un ‘1’ imi De Morgan’ın ‘konuşma evreni’ dediği şeyi, yani, herhangi bir türden düşünülebilir nesnelerin bütününü değil, daha ziyade tartışılmakta olan şeylerin belirli bir kategorisinin tümünü belirtir. Böylece örneğin, ‘Ali’ ve ‘yabancı’ terimlerinin tamamlayıcı sınıfları belirledikleri bir bağlamda konuşma evreni insanoğludur.

Boole’un sınıfların kesişimi sembolizmi ile uzun süredir yerleşmiş olan sayıların çarpımı sembolizmi arasında apaçık benzerlikler bulunduğundan, iki sınıfın kesişimini bunların mantıksal çarpımı olarak tanımlamak adet olmuştur. Ancak kesişim sembolizminin kurallarında sayısal çarpma kurallarında bulunmayan çok önemli bir özellik bulunur. Eğer x bir sınıfı belirtirse, o sınıfın kendisiyle kesişimi aynı sınıftır, yani, xx = x. Mantığın Matematiksel Analizi’nde Boole bu doğruluğu genellikle xⁿ = x formülüyle ifade etmiş ve bunun kendi hesabının ayırt edici özelliği olduğunu söylemiştir.

Bölme sayısal cebirde çarpmanın tersi olarak görünür, ancak Boole sınıflardan bahsederken genel olarak bölmeye benzeyen bir işleme izin vermemiştir. Eğer x, y, z harfleri sınıfları belirtirlerse, xz = yz denkleminden x = y denklemini iddia edemeyiz. Bekar hocalar sınıfı kırmızı-saçlı hocalar sınıfıyla eş olabilir, ancak bundan tüm bekarların kırmızı-saçlı oldukları çıkmaz.

Boole ‘+’ sembolünün sadece kesişimi olmayan sınıflar için kullanmış ve ‘–‘ sembolünü de ‘+’ sembolünün tersi olarak kullanmıştır. Özellikle x ile belirtilen sınıfın tamlayanı için 1 – x yazmıştır. Bu kullanım onun sisteminin özel ilkesini x (1 – x) = 0 formülünde ifade etmesini sağlamıştır.

Bu notasyon sistemi geleneksel mantığın A, E, I ve O önermelerinin ifadesi için yeterlidir, ancak A ve E önermeleri varlıksal anlamları dışında alınmaları şartıyla. x harfinin X şeylerin sınıfını, y harfinin de Y şeylerin sınıfını gösterdiğini varsayarsak, şu taslağı elde ederiz:

Her X Y’dir…………………….x (1 – y) = 0
Hiçbir X Y değildir……….x y = 0
Bazı X’ler Y’dir……………..x y 0
Bazı X’ler Y değildir…….x (1 – y) 0

Dört önermenin her biri cebirsel olarak bunlara eşdeğer olan, ancak bu kadar basit olmayan başka çeşitli şekillerde de gösterilebilir. Ancak bu taslakta tümel önermeler denklemlerle ifade edilirken tikel önermeler eşitsizliklerle ifade edilmişlerdir. Boole tüm geleneksel türden kategorik önermeleri denklemlerle ifade etmeyi tercih etmiş ve bundan dolayı taslağın son iki satırı yerine şunları yazmıştır:

Bazı X’ler Y’dir……………x y = v
Bazı X’ler Y değildir….. x (1 – y) = v

Tikel önermeleri ifade etmek amacıyla ileri sürdüğü v harfi, ‘bazı’ sözcüğüne karşılık geliyor gibi görünür; ancak onun ‘biri hariç tüm bakımlardan belirsiz’ bir sınıfı belirttiği, diğer bir değişle, bir üye ya da üyeleri içerdiği (yani, boş sınıfa eşit olmadığı) söylenir. Bu açıklama çok tatmin edici değildir. Eğer X bir şey Y ise, xy ile belirtilen sınıf en azından bir üyeden oluşur. Ancak xy denilen sınıfı tek tanımlayıcı özelliği bir üye veya üyeler barındırma olan bir sınıfla eşitleyerek bunu söyleyemeyiz; çünkü böyle bir sınıf yoktur.

Sınıflar ve sınıflar üzerindeki işlemler cinsinden bu sistemin yorumu için, Boole’un açık veya örtük şekilde öncüller olarak varsaydığı aşağıdaki formüllerin hepsi doğru önermeleri ifade ederler:

(1) x y = y x
(2) x + y = y + x
(3) x (y + z ) = x y + x z
(4) x (y – z) = x y – x z
(5) x = y ise, o zaman x z = y z
(6) x = y ise, o zaman x + z = y + z
(7) x = y ise, o zaman x – z = y – z
(8) x (1 – x) = 0

Aslında yeni bir ilke ekleyerek Boole’un sistemini iki-değerli bir cebre dönüştürmek mümkündür:

(9) Ya x = 1 ya da x = 0.

Mantığın Matematiksel Analizi’nde ve tekrar Düşünce Yasaları’nda Boole x = 1 denkleminin X önermesi doğrudur anlamında alınabileceği, x = 0 denkleminin de X önermesi yanlıştır anlamına gelebileceği bir düzen önermiştir. Bu kullanıma uygun olarak daha karmaşık önermelerin doğruluk-değerleri küçük harflerin kombinasyonları şeklinde, örneğin, X ve Y önermelerinin tümel-evetlemesinin doğruluk-değeri xy kombinasyonu tarafından; X ve Y önermelerinin tekil-evetlemesinin doğruluk-değeri ise x + y kombinasyonu ile gösterilebilir. Burada doğru ve yanlış için sırasıyla 1 ve 0 sembolleriyle önermelerin doğruluk-değerleri cinsinden Boole sisteminin bir yorumu için gerekli olan her şeye sahip olduğumuz görülecektir. Bu yorum da, tıpkı sayısal yorum gibi, (9) nolu ilkeyi sağlar. Önermelere ilişkin yapılan bu yorum Boole tarafından bu şekilde yapılmıştır, ancak daha sonra Frege tarafından bulunan ‘doğruluk-değeri’ ifadesi kullanılmamıştır.

Boole sisteminin formel değerlendirmesindeki temel işlem ‘gelişim’ dediği işlemdir. Farz edelim ki f (x) ifadesi x harfini ve muhtemelen başka seçici sembolleri içeren, ancak bunlardan başka sadece daha önce tartıştığımız her zamanki cebir imlerini içeren bir ifade için bir kısaltma olsun. O zaman, uygun a ve b katsayıları için, f (x) = a x + b (1 – x) olur. a ve b değerlerini belirlemek için de sadece x’in 1 ve 0 değerlerini aldığını varsaymamız gerekir. Çünkü o zaman f (1) = a ve f (0) = b denklemlerini yerlerine koyarak şunu elde ederiz:

f (x) = f (1) x + f (0) (1 – x)

Bu formül f (x) ifadesinin x’e göre gelişimini verir.

Buna dayanarak diğer önemli bir işlem olan ‘çözüm’ işlemini tanımlamak da mümkündür. Farz edelim ki verilen bilginin tümü tek bir f (x) = 0 denkleminde içerilsin. Burada f (x) ifadesi x harici seçici semboller içeren bir ifadenin kısaltmasıdır ve y, z, vesairenin diğer seçici semboller olduğu x =Φ (y, z, …) formunda bir denklem bulma arzulanır. İlk denklemimizi x’e göre geliştirerek şunu elde ederiz:

f (1) x + f (0) (1 – x) = 0.

Bu aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

f (1) – f (0) x + f (0) = 0,

o zaman şunu çıkarmak kolaydır:

Son olarak Boole ‘eliminasyon’ işlemi için kurallar vermiştir. Bilgimizin kısaltılmış şekilde f (x) = 0 denklemi ile gösterildiğini farz edelim ve eğer varsa, f (x)’in tam halinde sembolize edilen diğer sınıfların arasında hangi bağıntıların bağımsız olarak doğru olduğunun bulunması arzu edilsin. Çözüm işlemi ile şunu elde ederiz:

bundan şunu da elde edebiliriz:

Ancak cebrin temel kurallarından birine göre

x (1 – x) = 0,

bunu çözümümüzün iki sonucuyla birlikte ele aldığımızda Boole’a göre şunu çıkarabiliriz:

Bu hesap işlemlerinin çeşitli kombinasyonları ile Boole geleneksel mantıkta kabul edilen her türlü akıl yürütmenin cebirsel gösterimini verebilmiştir. Özellikle kıyas akıl yürütmesi iki sınıf denkleminin bir denkleme indirgenmesi olarak gösterilebilir, onu orta terimin elimine edilmesi ve sonucun özne teriminin çözümü izler. Basit bir örneği ele almak gerekirse, eğer h insanlar sınıfı, a hayvanlar sınıfı, m de ölümlüler sınıfını gösterirse, ‘her insan bir hayvandır’ ve ‘her hayvan ölümlüdür’ öncülleri yerine şu denklemler konulabilir:

h (1 – a) = 0
a (1 – m) = 0

Bu denklemleri tek denkleme indirgediğimizde şunu elde ederiz:

h – h a + a – a m = 0

Bundan da sırayla a’ya göre geliştirme yaparak şunu elde ederiz:

(h –h 1 + 1 – 1 m) a + (h – h 0 + 0 – 0 m) (1 – a) = 0
Veya
(1 – m) a + h (1 – a) = 0.

Daha sonra kurallara göre a’yı elimine ederek şu sonuca varabiliriz:

(1 – m) h = 0.

Bu denklem ‘her insan ölümlüdür’ anlamında yorumlanabilir şekildedir. Böylece Boole’un ileri sürdüğü yöntemlerin mekanik bir şekilde uygulanabildiği görülmüştür.

Boole formel mantığın prototipi olan Boole cebrini yaratmıştır. Boole cebri önermelerin doğruluk değerlerini bulmak için saf hesaplama kullanan ilk mantık sistemidir. Boole doğru için 1, yanlış için 0 değerini kullanmıştır. Bilgisayar uzmanları bu değerler dışında

başka değerler alamayan nesneler olarak hâlâ Boole değişkenlerini kullanmaktadırlar.

Konu Başlıkları

• Boole Cebrinin Daha Sonraki Gelişimi