Mantık ve Aritmetiğin Temelleri

Frege’nin, aritmetiği mantıksal olana indirgeme projesi, hem sayıların tek tek tanımlanmasını hem de sayıların sırasının yakalanmasını içermektedir. Frege, 1884 tarihli aritmetiğin temelleri üzerine yazdığı eserinde (Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-matematische Untersuchung über den Begriff der Zahl) ve 1893 yılında ilk ve tek cildini yayımladığı aritmetiğin temel yasaları hakkında yazdığı eserinde de (Die Grundgeseztze der Arithmetik) tek tek (sayal; İng. cardinal) sayıları n, saf mantıktan nasıl türetilebileceğini ortaya koymaya çalışmıştır.



Ancak, sayıların tek tek tanımlanması çabasına öncelikli bir biçimde 1879 tarihli eserinde (Begriffsschrift) bir dizideki sıra kavramının mantıksal sonuç kavramına indirgenebileceğini göstermeye çalışmıştır. Frege’nin bu eseriyle geliştirmeye başladığı ideografi fikri, biçimsel mantığın gelişiminde de bir dönüm noktası olmuştur. Begriffsschrift, fonksiyonlar ve değişkenlerin biçimsel bir dil içerisinde temsil edilebilmesini sağlıyordu. Frege, matematiğin mantığa dayandığını ve mantığın içerisinden geliştiğini göstermeye çalışıyordu. Bunun gösterilebilmesi için mantığın o günkü halinden çok ileriye götürülmesi icap ediyordu. Ne Aristoteles’in kıyas kuramı ne Stoacı önermeler mantığı önermelerin ve çıkarımların temsil edilebilmesi için yeterliydi. Örneğin, Euklides geometrisinin çıkarımları, klasik mantık içerisinde ele alınamıyordu.

Klasik mantık, mantık değişmezleri ile ilgili bir ilerleme sağlamış olsa da özellikle “tüm” ve “bazı” gibi ifadeleri içeren önermelerin ele alınışı, yeterince ayrıntılı değildi. Frege’nin geliştirdiği niceleme mantığı, tüm bu sorunları kökünden halletmiş ve modern mantığın gelişiminde yeni bir başlangıç olmuştur. Frege’nin geliştirdiğ i mantık içerisinde en karmaşık matematiksel ifadeler temsil edilebilmiş, ispatlar kendi ifade ettiği anlamda görüsel herhangi bir unsurun sızmasına izin vermeyen bir biçimde mantıksal araçlarla ele alınabilmiştir.



20. yüzyılda, mantık alanında sağlanan ilerlemelerin tamamı, Frege’nin niceleme mantığına dayanır. Bertrand Russell (1872-1970) ve Alfred North Whitehead’ın (1861-1947) mantıksal kavramları ele aldıkları ve biçimselleştirdikleri ünlü yapıtları Principia Mathematica (1910-1913), Bertrand Russell’ın belirli betimleyiciler kuramı, matematiksel mantığın ve hesap kuramının gelişiminde bir dönüm noktası olan Kurt Gödel’in (1906-1978) tamamlanamazlık teoremleri ve Alfred Tarski’nin (1901- 1983) nesne dili ile üst dilin birbirinden ayrılmasına dayanan doğruluk kuramı Frege’nin geliştirdiği mantığa dayanmaktadır.



Frege, Begriffsschrift adlı eserindeki amacını, önsözde şu şekilde ifade etmiştir:

...doğrulanmayı gerektiren tüm doğruları sadece mantık vasıtasıyla bir ispatı verilebilenler ve deneyimin olguları ile desteklenmek durumunda olanlar olmak üzere ikiye ayırıyoruz. Ancak, bir önermenin ilk türde olabilmesi, şüphesiz ki söz konusu önermenin duyuların eşliği olmaksızın insan zihninde beliremeyeceği gerçeği ile uyumludur. Dolayısıyla, psikolojik kaynağın ne olduğundan ziyade en iyi ispat yöntemi, bu sınışandırmanın temelinde yer almaktadır. fiimdi ben, aritmetiğin yargıları nın bu türlerin hangisine ait olduğu sorusunu ele almak istersem, öncelikle, aritmetikte yalnızca, tüm tikelleri aşan düşünce yasalarının desteğiyle, yani yalnızca çıkarımlar yoluyla ne kadar ilerleyebileceğimi kesinleştirmek durumundayım demektir. Benim ilk adımım, bir dizideki sıra kavramını mantıksal sonuç kavramına indirgeme ve buradan da sayı kavramına ulaşma çabası olacaktır. Görüsel olan herhangi bir şeyin gözden kaçarak buraya sızmasını önlemek için, çıkarım zincirlerinin boşluksuz olması için her türlü gayreti göstermek durumundaydım. Bu gereksinime mümkün olan en sıkı biçimde uyma çabasını gösterirken dilin yetersizliğini bir engel olarak karşımda buldum... Dile ait söz konusu eksiklik beni bu ideografi fikrine itti (Begriffsschrift, s.1).

Bu alıntıdan anlaşıldığı üzere Frege, çıkarımların temsil edilmesinde tamamen mantıksal bir dizge oluşturmayı hedeflemektedir. Bu dizge içine görüsel olan hiçbir unsurun sızmasına izin vermeyecektir. Frege’nin daha geniş bağlamdaki amacı ise aritmetiğin mantığın bir alt dalı olduğunu göstermektir. Aritmetiğin doğru önermeleri, birer mantık teoremi olarak ve mantıksal bir dizgenin olanakları içerisinde ispatlanabilir.



Frege’nin başardığı değişimi anlayabilmek için kendisinin kavram, nesne ve niceleyiciler ile ilgili geliştirdiği bakış açısının ayrıntılarına girmemiz gerekmektedir. Öncelikle sayı ifade eden bir önermeyi dikkate alalım. Frege’nin bu tür önermelerle ilgili yaptığı ilk tespit, bu önermelerin “kavramlarla ilgili” bir şey söylediğidir. Bir nesnenin herhangi bir sayal sayı kadar olduğunu söylemek, esasen belli bir kavramı n altına düşen belli bir sayıda nesne olduğunu söylemektir. Bir başka deyişle, bu tür önermeleri “n tane F vardır” biçimindedir. Dolayısıyla, sayısal önermelerin çözümlenmesi, kavramların mantık içerisinde nasıl ele alınabileceğini açıklamamızı gerektirir. Frege bu noktada, fonksiyonlardan yararlanır. Bir örnek olmak üzere, toplama fonksiyonunu ele alalım. Toplama fonksiyonu sıralı üçlülerden oluşur. Sıralı üçlünün ilk iki sırasındaki sayılar, fonksiyonun tanım kümesini, üçüncü sıradaki sayı ise değer kümesini teşkil eder. Örneğin 1, 3, 4 sıralı üçlüsü, toplama fonksiyonunun bir özellemesidir. Çünkü “1 + 3 = 4” önermesi doğru bir önermedir. Şimdi toplama fonksiyonu ile oluşturduğumuz basit bir denklemi ele alalım: x + 3 = 4. Bu denklem, bir önerme ifade etmez. Belli bir doğruluk değeri yoktur. Günümüzde mantıkta bu tür ifadelere, önermelerden farklarını belirtmek için açık önerme adını veriyoruz. Söz konusu açık önerme, bir değişken (“x”) içermektedir. Bu değişken, doğal sayılar kümesinden değerler alıyor olsun. Örneğin “1” sayısı bu denklemi sağlar. “1”in söz konusu denklemi sağlaması demek, “x” yerine 1 koyduğumuzda doğru bir önerme elde ederiz demektir. Böyle bir açık önermeye gerçeklenebilir bir önerme diyoruz.

Frege, kavramları tıpkı yukarıda ifade ettiğimiz denklemdeki gibi açık önermeler cinsinden ele almakta ve onlara “tamamlanmamış simgeler” adını vermektedir. Bir bakıma kavramlar, kendilerini sağlayan nesneler tarafından doldurulacak boşluk veya (ya da ikili ve daha çoklu bağıntılar söz konusu olduğunda) boşluklar içerirler. Örneğin “dünyanın uydusu” kavramını “x dünyanın uydusudur” biçiminde bir açık önermeyle ifade edebiliriz. Söz konusu açık önermeyi, dünyanın uydusu olduğu için “ay” sağlamaktadır.

Açık önermeleri kapalı hale getirmenin bir yolu, görüldüğü gibi, bir nesneyi (daha doğrusu nesneye işaret eden bir terimi), söz konusu değişkenin yerine koymaktı r. Ancak tek yol bu değildir. Frege’nin devrim niteliğindeki buluşu şu şekilde ifade edilebilir: Niceleme, açık önermeleri kapalı hale getirme, yani açık önermeleri doğruluk değeri taşıyan önermelere dönüştürme işlemidir. Yine “dünyanın uydusu” kavramını ele alalım. Fx: x dünyanın uydusudur olarak tanımlansın.



(I) Tüm x’ler için Fx’tir.
(II) Bazı x’ler için Fx’tir.


Yukarıdaki önerme biçimlerinden (I), tümel bir önerme biçimi olup tümel bir niceleyici (tüm) içermektedir. (II) önermesi ise tikel bir önerme biçimi olup tikel bir niceleyici (bazı) içermektedir. Her iki önerme de söz konusu değişken “x”in değer aldığı alana bağlı olarak belli bir doğruluk değeri taşımaktadır. Örneğin, tüm şeyleri değer alanı olarak belirlersek (I) yanlış, (II) ise doğru olacaktır.

Aynı önerme “Gxy: x, y’nin uydusudur” yüklemini kullanarak ve dünya yerine bir sabit terim koyarak da ifade edilebilir. “a” sabit bir terim olarak dünyanın yerine geçsin:

(III) Tüm x’ler için Gxa’dır.
(IV) Bazı x’ler için Gxa’dır.


Görüldüğü gibi, niceleyici içeren tüm önermeler içerdikleri birli, ikili, n’li bağıntılar uygun önerme eklemlerini de tanımlayarak biçimsel mantık içerisinde temsil edilebilir hale gelmiştir. Niceleyicilerin bu şekilde ele alınmasının bir diğer avantajı da klasik mantıkta mümkün olmayan bir biçimde sayısal ifadelerin temsil edilebilmesidir. Örneğin, “Dünyanın bir ve yalnız bir uydusu vardır.” ifadesini, mantığımıza özdeşlik simgesini (“=”) katarak kolayca ifade edebiliriz: En az bir x vardır ki Gxa’dır ve eğer herhangi bir y için Gya ise x=y’dir.

Benzer biçimde tüm diğer sayısal ifadeler, “tam olarak iki”, “en az iki”, “en fazla bir”, “en az iki” vb. herhangi bir muğlaklığa yol açmaksızın Frege’nin geliştirdiği mantık içerisinde temsil edilebilir.

Frege, geliştirdiği niceleme mantığı içerisinde karmaşık matematiksel önermeleri ve bu önermeleri içeren mantıksal çıkarımları temsil edebilme olanağına sahip olmuştur. Dolayısıyla sıra, tek tek sayıların tanımlanmasına gelmiştir. Projesinin bu kısmına giriş olarak Frege, 1884 yılında Die Grundlagen der Aritmetik’i (Aritmetğin Temelleri) yayımlar. Bu kitap, ilki gibi teknik notasyonları içermez. Birçok felsefe tarihçisine göre Grundlagen yazılış biçimi, kanıtlamaların sunuluşu vb. itibariyle felsefe tarihinde yazılmış en başarılı analitik metinlerden birisidir. Frege, öncelikle aritmetiksel önermelerin statüsü ve sayal sayının mahiyetine ilişkin mevcut kuramları eleştirel bir biçimde ele alır. Bunların her birinin neden kabul edilemez olduğunu ayrıntılı kanıtlamalar vererek gösterir. Ta ki kendi önerdiğinin haricinde aritmetiğin ve sayal sayının açıklanmasında geçerli başka bir kuram kalmayıncaya kadar. Daha sonra bir süre, ilk iki kitabında öne sürdüğü kavram ve nesne anlayışını netleştirmek üzere çalışır. Bu çalışmalarının sonuçlarını 1891 yılında verdiği Funktion und Begriff (Fonksiyon ve Kavram) başlıklı derste sunar. Aritmetiğin temellerine ilişkin yaklaşımının artık olgunlaştığına ikna olduğundan, söz konusu temellerin biçimsel bir sunumunu yapmaya karar verir ve Grundgesetze der Aritmetik’in (Aritmetiğin Temel Yasaları) ilk cildini 1893 yılında yayımlar. Grundgesetze biçimsel ve teknik bir metindir. Felsefî tartışmalar ve temellendirmeler yoktur. Birinci kısımda, sadece kullandığı biçimsel dilin anlambilimine ilişkin bir sunum bulunmaktadır. İkinci kısım ise ayrıntılı türetimleri içerir. Sonlu sayal sayılar olarak doğal sayıların inşası gerçekleştirilir. Grundgesetze’nin ikinci cildi, on yıl sonra 1903’te yayımlanır. İkinci kısmın sonu, ikinci ciltte sunulur. Üçüncü kısımda gerçel sayıların inşasına ilişkin tartışmalar başlar. Bu tartışmalar, Grundlagen’de sayal sayılara ilişkin tartışmanın bir benzeridir. Bu kez gerçel sayılara ilişkin farklı kuramlar eleştiriye tâbî tutulur. Fakat ikinci cildin sonunda tamamlanmaz. Bir üçüncü cilt ise hiçbir zaman yayımlanmamıştır.

Sonuçta Frege, sayal sayıyı nasıl ele almakta ve nasıl tanımlamaktadır? Bunu anlayabilmek için öncelikle birinci düzey ve ikinci düzey biçimsel mantık arasındaki ayrıma dikkat etmemiz gerekir. Birinci düzey niceleme mantığında, niceleyiciler değişkenleri nicelerler. Bir başka deyişle, “tüm x’ler için” ya da “bazı x’ler için” biçimindeki ifadelerden başka niceleyiciler birinci düzey mantıkta yer almaz. İkinci düzey niceleme mantığında ise yüklemlerin de nicelenebildiğini görürüz. Bir bakıma ikinci düzey mantık, sadece yüklemlerin kaplamlarındaki nesneler hakkında değil bizatihi yüklemlerin kendileri hakkında konuşabildiğimiz bir mantıktır.



Frege sayal sayıları ikinci düzey yüklemler mantığında tanımlamaktadır. Biraz önce “Belli bir yüklemi sağlayan bir ve yalnız bir nesne vardır.” önermesinin biçimini ifade etmiştik. Şimdi bu önerme biçimini sağlayan yüklemleri dikkate alalım. Bu yüklemlerin kaplamlarında sadece bir birey bulunmaktadır. Frege’ye göre Bir sayısı, ikinci derece yüklemler mantığında, birinci derece yüklemler mantığındaki söz konusu ifadeyi sağlayan tüm yüklemlerin kavramıdır. Bir bakıma Bir sayısının kendisi kaplamında bir birey bulunan yüklemlerin kümesidir. Sıfır sayısı kaplamında hiçbir birey bulunmayan (bu itibarla da çelişik olan) yüklemlerin kavramıdır. Benzer biçimde, diğer tüm sayılar da ikinci derece yüklemler mantığında artık tanımlanabilmektedir.

Hazırlayan: Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM'ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 1. Sınıf "Felsefeye Giriş" ve 2., 3., 4. Sınıf "Felsefe Tarihi" Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM); Açık Öğretim Felsefe Ders Kitabı