Matematiğin Mantığa İndirgenmesi

Russell’ın matematik felsefesi üzerine ilk çalışması, 1897 tarihli An Essay on the Foundations of Geometry olmuştur. Bu eseri, genelde Kantçı bir çizgide yazılmıştır. Russell, daha sonra bu yaklaşımının Albert Einstein’ın uzay-zaman anlayışı ile ters düştüğünü düşünmüş ve burada savunduğu görüşleri tamamen terk etmiştir.



Russell’ın ilgi alanı, izleyen dönemde sayının tanımına kaymış ve bu alanda George Boole, Georg Cantor ve Augustus De Morgan gibi matematikçi ve felsefecilerin görüşlerini incelemiştir. Aynı dönemde Charles Sanders Peirce’ın ve Ernst Shröder’in çalışmaları hakkında fikir sahibi olduğu da tarihçilerin araştırmaları ile belirlenmiştir. 1900 yılında Paris’te katıldığı bir kongrede, İtalyan matematikçi Giuseppe Peano (1858 - 1932) ile tanışır. Peano, o sıralarda aritmetiği aksiyomatik bir dizge içerisinde ele almak üzere çalışmalarını sürdürmektedir. “Sıfır”, “sayı” ve “ardı- şıklık bağıntısı” terimlerini ve İngilizcedeki “the” belirtecini basit (tanımsız) olarak kabul edip sayılara ilişkin tüm aksiyomları ve bunlara da dayanarak aritmetiğin teoremlerini, bir dizge içerisinde ele almayı hedeşiyordu. Russell, bu temel terimlerin de mantıksal olarak tanımlanıp tanımlanamayacağını merak ediyordu ve çalı şmalarını bu konuda yoğunlaştırdı. 1903 yılına kadar, bu konulardaki çalışmalarını sürdürdü. 1897’den 1903’e kadar üç ayrı çalışmasını yayımladı: On the Notion of Order, Sur la logique des relations avec les applications à la théorie des séries ve On Cardinal Numbers.



Russell, matematiğin temellerinin günümüzde yüksek düzey (birinci düzeyden daha yüksek) mantık olarak adlandırılan bir mantıksal dizge içerisinde ele alınabileceğini düşünüyordu. Russell, bu dönemde Frege’nin çalışmaları ile karşılaştı ve kendininkilere benzer kaygılarla Frege’nin sayıyı tanımlamaya çalıştığını gördü. Daha önce de ifade ettiğimiz gibi Frege’nin dizgesinde bir paradoks keşfetti ve bunu bir mektupla Frege’ye bildirdi. Öte yandan, o sırada kendi sürdürdüğü çalışmasını, The Principles of Mathematics’in ekinde bu paradoksu sundu ve bir çözüm önerisi kaleme aldı. Aynı dönemde Russell, Georg Cantor’un bir başka ispatı üzerinde de çalışıyordu. Cantor, en büyük sayal sayının bulunmadığına dair bir ispat vermişti ve bu teorem, Cantor Paradoksu olarak anılır olmuştu. İlk başta Russell, bu ispatın hatalı olduğunu düşünüyordu. Daha sonra bu paradoksun, Russell Paradoksu’nun özel bir durumu olduğu anlaşıldı. Bunun üzerine Russell, kümeler ve öbekler (İng. class) üzerine çalışmalarını yoğunlaştırdı. Söz konusu ek bölümünde Russell’ın önerdiği çözüm, Russell’ın öbekler konusundaki görüşlerine dayanıyordu. Russell daha sonra bu fikirlerini geliştirerek bugün, tipler kuramı olarak adlandırılan kuramını geliştirdi. Bu kuramın asıl amacı, küme kuramını söz konusu paradoksları n çıkmasına engel olacak biçimde aksiyomatikleştirmekti.

Günümüzde matematiksel mantığın ve hesap kuramının kendisine dayandığı ünlü Gödel Tamamlanamazlık Teoremleri (1931), Principia Mathematica’da sunulan biçimsel dizgeyi varsaymaktadır. Gödel, bu teoremlerin ilki aritmetiksel önermeleri temsil edebilecek kadar güçlü bir biçimsel dizge içerisinde ne kendisinin ne de değilinin ispatı verilemeyecek doğru önermeler bulunduğunu, bu itibarla da biçimsel dizgelerin aritmetiğin doğru önermelerini temsil etmek konusundan bir eksiklik barındırdığını göstermiştir. İkinci teorem ise aritmetiksel önermeleri temsil edebilecek kadar güçlü bir biçimsel dizgenin tutarlılığının dizge içerisinde verilemeyeceğini ifade etmiştir.



Russell tipler kuramında elde ettiği sonuçları da kullanarak, Alfred North Whitehead ile birlikte, ünlü Principia Mathematica adlı eseri kaleme aldı. İlk cildi 1910 yılında yayımlanan bu eser, dört ciltten oluşmak ve dördüncü cildinde geometrinin temellerini de içermek üzere tasarlanmıştı ancak, dördüncü cilt hiçbir zaman yayımlanmadı.

Russell’ın matematik felsefesi alanındaki son önemli çalışması, Birinci Dünya Savaşı sırasında sergilediği savaş karşıtı tutum nedeniyle çarptırıldığı hapis cezasını çekerken yazdığı, Introduction to Mathematical Philosophy başlıklı kitabıdır. Bu çalışmasında Russell, o ana kadar bu alanda yaptığı çalışmaları ve felsefî sonuçlarını sunmuştur.

Hazırlayan:
Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM'ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 1. Sınıf "Felsefeye Giriş" ve 2., 3., 4. Sınıf "Felsefe Tarihi" Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM); Açık Öğretim Felsefe Ders Kitabı